Fractais

 

 

Esta apresentação reúne inúmeras imagens de fractais. Essa geometria, nada convencional, tem raízes remontando ao século XIX e algumas indicações neste sentido vêm de muito antes, na Grécia Homérica, Índia, China, entre outros. Porém, há alguns anos vem se consolidando com o desenvolvimento dos computadores e o auxílio de novas teorias nas áreas da física, biologia, astronomia, matemática e outras ciências.

O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês, nascido na Polónia, que descobriu a geometria fractal. Os fractais foram nomeados - ao invés de descobertos ou inventados - no início dos anos 80 por Benoît Mandelbrot, o "pai dos fractais", para classificar certos objetos intrincados que não possuem dimensão inteira (1, 2 ou 3) mas sim fracionária.

Durante séculos, os objetos e os conceitos da geometria euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objectos que representam certos fenómenos do Universo, tal como se passou com os fractais. Assim, considera-se hoje que tais objectos retratam formas e fenómenos da Natureza.

A idéia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns matemáticos entre 1875 e 1925. Esse trabalho deu a conhecer alguns objectos, catalogados como "monstros", que se supunha não terem grande valor científico. Tais objectos acabaram por adquirir um estatuto de dignidade matemática, constituindo hoje uma área importante de investigação matemática.

Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido. Considera-se hoje que tais objetos retratam formas e fenômenos da natureza.

Um fractal atualmente conhecido é o Koch snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e fatalmente se aproxima do infinito. Dessa maneira, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.

Árvores e samambaias (ou fetos) são fractais naturais e esta propriedade de repetitividade está clara neste exemplo onde um ramo de uma árvore ou na folhagem de uma samambaia pode ser observada uma réplica - não idêntica, porém semelhante na estrutura - em miniatura do todo.

Nos últimos anos, diferentes definições de fractais têm surgido. No entanto, a noção que serviu de fio condutor a todas as definições foi introduzida por Benoît Mandelbrot através do neologismo "Fractal", que surgiu do latino fractus, que significa irregular ou quebrado, como ele próprio disse: "Eu cunhei a palavra fractal do adjectivo em latim fractus. O verbo em latim correspondente frangere significa quebrar: criar fragmentos irregulares, é contudo sabido – e como isto é apropriado para os nossos propósitos! – que, além de significar quebrado ou partido, fractus também significa irregular. Os dois significados estão preservados em fragmento".

Os fractais são formas geométricas abstractas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área finita. Mandelbrot, constatou ainda que todas estas formas e padrões, possuíam algumas características comuns e que havia uma curiosa e interessante relação entre estes objectos e aqueles encontrados na natureza.

Um fractal é gerado a partir de uma fórmula matemática, muitas vezes simples, mas que aplicada de forma iterativa, produz resultados fascinantes e impressionantes.

Uma 1ª definição, pelo próprio Mandelbrot, diz que: "Um conjunto é dito fractal se a dimensão Hausdorff deste conjunto for maior do que a sua dimensão topológica". Contudo, no decorrer do tempo ficou bastante claro que esta definição era muito restrita, embora apresentasse algumas motivações pertinentes.

Existem duas categorias de fractais: os geométricos, que repetem continuamente um modelo padrão e os aleatórios, que são feitos através dos computadores.

Além de se apresentarem como formas geométricas, os fractais representam funções reais ou complexas e apresentam determinadas características: auto-semelhança, a dimensionalidade e a complexidade infinita.

Categoria dos Fractais

Os fractais podem ser agrupados em três categorias principais. Estas categorias são determinadas pelo modo como o fractal é formado ou gerado:

Sistema de funções iteradas — Estas possuem uma regras fixa de substituição geométrica. Conjunto de Cantor, tapete de Sierpinski, Sierpinski gasket, curva de Peano, floco de neve de Koch, curva do dragão de Harter-Heighway, T-Square, esponja de Menger, são alguns exemplos deste tipo de fractal.

Fractais definidos por uma relação de recorrência em cada ponto do espaço (tal como o plano complexo). Exemplos deste tipo são o conjunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov. Estes também são chamados de fractais de fuga do tempo.

Fractais aleatórios, gerados por processos estocásticos ao invés de determinísticos, por exemplo, terrenos fractais e o vôo de Lévy.

Ainda, também podem ser classificados de acordo com sua auto-similaridade. Existem três tipos de auto-similaridade encontrados em fractais:

Auto-similaridade exata: é a forma em que a auto-similaridade é mais marcante, evidente. O fractal é idêntico em diferentes escalas. Fractais gerados por sistemas de funções iterativas geralmente apresentam uma auto-similaridade exata.

Quase-auto-similaridade: é uma forma mais solta de auto-similaridade. O fractal aparenta ser aproximadamente (mas não exatamente) idêntico em escalas diferentes. Fractais quase-auto-similares contém pequenas cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou degenerada. Fractais definidos por relações de recorrência são geralmente quase-auto-similares, mas não exatamente auto-similares.

Auto-similaridade estatística: é a forma menos evidente de auto-similaridade. O fractal possui medidas númericas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas. As definições de fractais geralmente implicam em alguma forma de auto-similaridade estatística (mesmo a dimensão fractal é uma medida numérica preservada em diferentes escalas). Fractais aleatórios são exemplos de fractais que possuem auto-similaridade estatística, mas não são exatamente nem quase auto-similares.

Entretanto, nem todos os objetos auto-similares são considerados fractais. Uma linha real (uma linha reta Euclidiana), por exemplo, é exatamente auto-similar, mas o argumento de que objetos Euclidianos são fractais é defendido por poucos. Mandelbrot argumentava que a definição de fractal deveria incluir não apenas fractais "verdadeiros" mas também objetos Euclidianos tradicionais, pois números irracionais em uma linha real representam propriedades complexas e não repetitivas.

Pelo fato do fractal possuir uma granulometria infinita, nenhum objeto natural pode sê-lo. Os objetos naturais podem exibir uma estrutura semelhante ao fractal, porém com uma estrutura de tamanho limitado.

Veja a apresentação de várias imagens selecionadas de fractais*.